-
גאומטריה דיפרנציאלית
כל מה שרצית לדעת על גאומטריה דיפרנציאלית:גאומטריה דיפרנציאלית היא ענף מתמטי העושה שימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי כדי לבחון בעיות בגאומטריה. הענף פותח לראשונה במאות ה-18 וה-19 על בסיס התאוריה של עקומות במישור ובמרחב והתאוריה של משטחים במרחבים אוקלידים תלת-ממדיים. מאז סוף המאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית עוסקת בעיקר במבנים גאומטריים על יריעות דיפרנציאליות. הגאומטריה…
-
תבנית דיפרנציאלית
כל מה שרצית לדעת על תבנית דיפרנציאלית:באנליזה וקטורית, תבנית דיפרנציאלית (מאנגלית – Differential form), היא הכללה של פונקציה ממשית המאפשרת "לפרק" פונקציה לכיוונים בלתי תלויים שונים. כמו כן, היא מאפשרת להכליל אינטגרלים ולחשבם על סוגים שונים של יריעות במרחב האוקלידי. תבניות דיפרנציאליות הן מושג בסיסי באנליזה מתמטית, ויש להן שימושים רבים בתחומים שונים, כמו גאומטריה…
-
גאומטריה סיסטולית
כל מה שרצית לדעת על גאומטריה סיסטולית:גאומטריה סיסטולית היא ענף בגאומטריה המודרנית, העוסק ב"היקף הסיסטולי" של יריעות ופאונים, ובהקשרים אריתמטיים, טופולוגיים וארגודיים של מושג זה.ראשיתה של הגאומטריה הסיסטולית בעבודות של Charles Loewner (1893-1968), ובין המתמטיקאים הבולטים שעסקו בה מאז אפשר למנות את מיכאיל גרומוב, מרסל ברגר (שטבע את המונח systole), ואחרים. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות…
-
גאומטריה לא-אוקלידית
כל מה שרצית לדעת על גאומטריה לא-אוקלידית:גאומטריה לא־אוקלידית היא תורה גאומטרית, שבה מתקבלות תוצאות שונות מהגאומטריה של אוקלידס, על ידי שינוי חלק מהאקסיומות שבבסיסה. הגאומטריה האוקלידית, המוגדרת על ידי האקסיומות שתיאר אוקלידס ביסודות, נחשבה מאות בשנים לגאומטריה המתארת את הטבע. עם זאת, האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מורכבת ביחס לשאר האקסיומות, והיא נתפסה כפחות…
-
טופולוגיה דיפרנציאלית
כל מה שרצית לדעת על טופולוגיה דיפרנציאלית:טופולוגיה דיפרנציאלית הוא תחום במתמטיקה העוסק ביריעות חלקות. תחום זה נושק לגאומטריה דיפרנציאלית, אולם בשונה ממנה הוא מתמקד במבנה הגלובלי של היריעות ולא במבנה הלוקלי שלהן. לכן, בעוד שמנקודת מבטה של הגאומטריה הדיפרנציאלית אין עניין ביריעות חלקות ללא מבנה נוסף (מבחינה לוקלית כל היריעות האלה איזומורפיות ל , עבור…
-
אבולוט
כל מה שרצית לדעת על אבולוט:בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור γ : [ 0 , L ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}} בפרמטריזציה טבעית, אֵבוֹלוּט (באנגלית: Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.נוסחת האבולוט היא: E → ( s ) = γ → ( s ) + R (…
-
יריעה
כל מה שרצית לדעת על יריעה:במתמטיקה, יריעה היא מרחב מתמטי מופשט אשר במבט מקרוב (מבט מקומי) דומה למרחב בעל גאומטריה אוקלידית, אך במבט כולל הוא בעל תכונות מורכבות יותר.שטח פני כדור הארץ הוא דוגמה ליריעה; מקרוב הוא נראה שטוח אך במבט כולל מתגלה צורתו הכדורית. היריעות מתאפיינות בעיקר בעובדה שניתן לפרק אותן למספר אזורים שכל…
-
משטח (טופולוגיה)
כל מה שרצית לדעת על משטח (טופולוגיה):במתמטיקה, משטח הוא יריעה טופולוגית דו-ממדית. כלומר מרחב טופולוגי שבאופן מקומי נראה כמו המישור האוקלידי. משטח המהווה שפה של גוף תלת-ממדי נקראת פני שטח.דוגמאות מוכרות למשטחים הם המישור, הספירה הדו-ממדית, הטורוס, המישור הפרויקטיבי, טבעת מביוס, מטריית וויטני ובקבוק קליין. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשטח (טופולוגיה):•קצרמר מתמטיקה•גאומטריה דיפרנציאלית•טופולוגיה
-
חלוקת יחידה
כל מה שרצית לדעת על חלוקת יחידה:בטופולוגיה ובגאומטריה דיפרנציאלית חלוקת יחידה (נקרא גם פיצול יחידה) היא אוסף של פונקציות אי שליליות ממרחב כלשהו שסכומן הוא זהותית אחד, כאשר כל פונקציה לא מתאפסת רק באזור קטן שמוגדר מראש. חלוקת יחידה משמשת להרחבת אלמנטים שמוגדרים באופן מקומי (רק על סביבה קטנה) לאלמנטים שמוגדרים באופן גלובלי. נלקח מויקיפדיה…
-
משוואות פרנה-סרה
כל מה שרצית לדעת על משוואות פרנה-סרה:בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במרחב האוקלידי התלת-ממדי γ : [ 0 , L ] → R 3 {\displaystyle \gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}} בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה-סרה (Frenet-Serret) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה, הווקטור הנורמל לו והווקטור הבי-נורמל, כתלות בעקמומיות והפיתול של העקומה. חשיבותן…